3 Puasonova regresija

Kod Puasonove regresije pretpostavljamo da zavisna promenljiva ima Puasonovu raspodelu \[Y \sim \mathcal{P}(\lambda(X)),\] gde parametar raspodele \(\lambda\) zavisi od prediktora \(X\).

Kako zbog prirode zavisne promenljive, koja uzima celobrojne vrednosti, nije pogodno modelovati \(Y\) linearnim modelom, mi ćemo modelovati očekivanje \(E(Y|X) = \lambda(X)\), koje uzima realne vrednosti. Kako je parametar \(\lambda\) pozitivan, modelovaćemo njegov logaritam linearnim modelom, čime dobijamo model Puasonove regresije \[\log(\lambda(X)) = \beta_0 + \beta_1X_1+\dots+\beta_pX_p=X\beta,\] gde je \(\beta\) vektor koeficijenata modela.

Ocene koeficijenata \(\beta\) se računaju metodom maksimalne verodostojnosti. naime \[\hat\beta = \underset{\beta}{argmin}\ \log\left( \prod_{i=1}^n \frac{\lambda(x_i)^{y_i}}{y_i!}e^{-\lambda(x_i)}\right).\]

Testiranje značajnosti koeficijenata se radi na isti način kao u logističkoj regresiji, pa nećemo ulaziti u detalje ovde.